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@Daniela buenass, estaba por preguntar lo mismo y me di cuenta que es porque hay que usar la regla de la cadena en e^-x porque es una funcion compuesta; al usarla te queda -e^-x
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@Daniela No creo que use regla de la cadena. Está utilizando la regla de producto. Lo que no entiendo es porque el cambio de signo... pero cuando lo resolví yo lo puse con el signo + y queda e^-x(4x^3+x^4) después sacando factor común de nuevo queda e^-x. x^3(4 +x)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
10.
Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de $f$.
a) $f(x)=x^{4} e^{-x}$
a) $f(x)=x^{4} e^{-x}$
Respuesta
Vamos a resolver el ejercicio paso a paso, tal como vimos en el video de estudio de funciones usando la derivada.
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1. Primero hallamos el dominio de la función
Tanto la función polinómica como la función exponencial están definidos para todos los números reales.
Por lo tanto, el dominio de \( f(x) \) es:
$ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} $
2. Calculamos la derivada de la función
$ f'(x) = (x^4)' e^{-x} + x^4 (e^{-x})' $
$ f'(x) = 4x^3 e^{-x} - x^4 e^{-x} $
$ f'(x) = e^{-x} (4x^3 - x^4) $
$ f'(x) = e^{-x} x^3 (4 - x) $
3. Buscamos los puntos críticos:
3.1. Buscamos los valores del dominio de $f$ donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas:
El $Domf=Domf'$. No obtuvimos puntos críticos de acá.
3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
$ f'(x) = e^{-x} x^3 (4 - x) = 0 $
La exponencial \( e^{-x} \) nunca es cero, por lo que los puntos críticos se encuentran cuando:
$ x^3 (4 - x) = 0 $
Tenemos dos soluciones:
$ x^3 = 0 \implies x = 0 $
$ 4 - x = 0 \implies x = 4 $
4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en cada intervalo:
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-\infty, 0) \): \( f'(-1) = e^{1} (-1)^3 (4 - (-1)) = e^1 (-1) (5) < 0 \). Es decir que $f$ decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (0, 4) \): \( f'(1) = e^{-1} (1)^3 (4 - 1) = e^{-1} (1) (3) > 0 \). Es decir que $f$ crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (4, +\infty) \): \( f'(5) = e^{-5} (5)^3 (4 - 5) = e^{-5} (125) (-1) < 0 \). Es decir que $f$ decrece.
5. Evaluamos los máximos y mínimos
Los puntos \( x = 0 \) y \( x = 4 \) son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> \( x = 0 \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.
-> \( x = 4 \): Es un máximo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de positivo a negativo.
Podemos hallar las coordenadas de los extremos sustituyendo \( x = 0 \) y \( x = 4 \) en \( f(x) \):
$ f(0) = 0^4 e^{-0} = 0 $
$ f(4) = 4^4 e^{-4} = 256 e^{-4} $
Respuesta:
Dominio: \( \mathbb{R} \)
Intervalos de crecimiento: \( (0, 4) \)
Intervalos de decrecimiento: \( (-\infty, 0) \cup (4, +\infty) \)
Mínimo relativo en \( x = 0 \), con coordenadas \( (0, 0) \)
Máximo relativo en \( x = 4 \), con coordenadas \( (4, 256e^{-4}) \)
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Daniela
17 de junio 15:46
hola juli porque al derivar, siendo un producto queda restando? no qedaria (4 + x)
Franco
18 de junio 1:22
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Fernando
20 de junio 19:04
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